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Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.

Problema 1

 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

 Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

 x = Primer número

Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:

10 − x = Segundo número

Para entenderlo mejor:

Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 − x .

La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:

x2 + (10 - x)2 = 58

Esta es la ecuación a resolver

Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.

Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)2 = a2 − b2,  lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2

Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 58

Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;

Dividiendo entre 2 toda la ecuación:

 x2 − 10x + 21 = 0

Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.

Veamos, si tenemos

a = 1,                b = −10        c = 21

Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2:

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que:

x = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:

x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x • (x + 3 ) = área de la sala.

Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala

x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala

Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:

(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)

Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x

Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0

Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.

Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.

La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.

Como el largo inicial  x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.

Problema 3

Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25

Reagrupando:

x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0

Finalmente:

−2x2 + 18x = 0

Es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.

La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es

El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax² + bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos  x²  y  x, respectivamente y  c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa 

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero. Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es:

                                                 ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax² = 0;   si    b = 0    y    c = 0.

ax² + bx = 0;    si    c = 0.

ax² + c = 0;    si    b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones

1) Resolver: − 5x² + 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5;  b = 13;  c = 6.

Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.

Llamaremos X1 y X2  a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con ,  se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y  son las raíces de − 5x² + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x² = 9

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

− x² + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ;  b = 6 ;  c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ)  es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x₁ = x₂ = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

En la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

Por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse   x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

La cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Fórmula Cuadrática

Al utilizar la fórmula cuadrática encuentras la solución de la ecuación.  Una ecuación cuadrática puede tener una solución o dos soluciones; éstas pueden ser valores en el conjunto de los números reales o en el de los números complejos.

  Fórmula:          

 

Procedimiento:

1) Primero debemos expresar la ecuación en forma estándar igualando a cero.

Segundo identificar el valor de a, b y c, en la ecuación dada.

Sustituir en la fórmula cuadrática.

2) Se debe comenzar con el radical, el radicando en esta fórmula se conoce como el discriminante:  b2-4ab.   El tipo de solución de la ecuación depende del valor del discriminante.

3) Si el discriminante es:

·         Positivo la ecuación tiene dos valores reales como solución

·         Negativo la ecuación tiene dos valores no reales  ( complejos ) como solución

·         Cero sólo tenemos un  valor real como solución

 4 ) Simplificar

EJEMPLO:

Resuelve  por la fórmula cuadrática

SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.

 Sustituimos la fórmula y simplificamos.

Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

  a) 2x − 3 = 0

2x = 3

b) x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x² + 5x − 12 = 0

2x² + 5x = 12

2x² − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.

 Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3x2  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), se puede usar varios métodos.