Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.

Problema 1

 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

 Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

 x = Primer número

Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:

10 − x = Segundo número

Para entenderlo mejor:

Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 − x .

La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:

x2 + (10 - x)2 = 58

Esta es la ecuación a resolver

Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.

Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)2 = a2 − b2,  lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2

Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 58

Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;

Dividiendo entre 2 toda la ecuación:

 x2 − 10x + 21 = 0

Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.

Veamos, si tenemos

a = 1,                b = −10        c = 21

Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2:

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que:

x = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:

x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x • (x + 3 ) = área de la sala.

Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala

x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala

Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:

(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)

Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x

Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0

Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.

Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.

La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.

Como el largo inicial  x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.

Problema 3

Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25

Reagrupando:

x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0

Finalmente:

−2x2 + 18x = 0

Es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.

La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es

El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.