Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax² + bx + c = 0,  donde  a,  y  b  son los coeficientes de los términos  x²  y  x, respectivamente y  c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa 

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero. Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es:

                                                 ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax² = 0;   si    b = 0    y    c = 0.

ax² + bx = 0;    si    c = 0.

ax² + c = 0;    si    b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones

1) Resolver: − 5x² + 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5;  b = 13;  c = 6.

Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.

Llamaremos X1 y X2  a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con ,  se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y  son las raíces de − 5x² + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x − x² = 9

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

− x² + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ;  b = 6 ;  c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ)  es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x₁ = x₂ = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.